{r}{5y+x=44}{y-x=4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5y+x=44,y-x=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$5y+x=44$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y=-x+44$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -x+44ని గుణించండి.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{-x+44}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

-xకు -\frac{x}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{44}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{6}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=4$$

y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}లో xను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

-\frac{1}{5} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{4}{5}కు \frac{44}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=8,x=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5y+x=44,y-x=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=8,x=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5y+x=44,y-x=4$$

5y మరియు yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5y-5x=20ని 5y+x=44 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

-5yకు 5yని కూడండి. 5y మరియు -5y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x+5x=44-20$$

5xకు xని కూడండి.

$$6x=44-20$$

-20కు 44ని కూడండి.

$$6x=24$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=4$$

y-x=4లో xను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-4=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$y=8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=8,x=4$$