{r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-4$$

$$y=12$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2y}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -\frac{2y}{3}-12ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -6x-\frac{1}{3}y=20.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

-6 సార్లు -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}ని గుణించండి.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

-\frac{y}{3}కు \frac{4y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{72}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{15}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=12$$

x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}లో yను 12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

-\frac{2}{15} సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{8}{5}కు -\frac{12}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=12$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-4,y=12$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

5x మరియు -6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -30x-\frac{5}{3}y=100ని -30x-4y=72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

30xకు -30xని కూడండి. -30x మరియు 30x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

\frac{5y}{3}కు -4yని కూడండి.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

-100కు 72ని కూడండి.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{7}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=12$$

-6x-\frac{1}{3}y=20లో yను 12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

-\frac{1}{3} సార్లు 12ని గుణించండి.

$$-6x-4=20$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$-6x=24$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=12$$