{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$32x+3y=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$32x=-3y+5$$

రెండు వైపులా 32తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{32} సార్లు -3y+5ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y+5}{32} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

3 సార్లు \frac{-3y+5}{32}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

2yకు -\frac{9y}{32}ని కూడండి.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{32}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{55}{32}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{445}{11}$$

x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}లో yను \frac{445}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{32} సార్లు \frac{445}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1335}{352}కు \frac{5}{32}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{40}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 32తో గుణించండి.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 96x+64y=2240ని 96x+9y=15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

-96xకు 96xని కూడండి. 96x మరియు -96x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-64y=15-2240$$

-64yకు 9yని కూడండి.

$$-55y=15-2240$$

-2240కు 15ని కూడండి.

$$-55y=-2225$$

రెండు వైపులా -55తో భాగించండి.

$$y=\frac{445}{11}$$

3x+2y=70లో yను \frac{445}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

2 సార్లు \frac{445}{11}ని గుణించండి.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{890}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{40}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$