{r}{2x+3y=10}{-3x+y=18} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-4$$

$$y=6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+3y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-3y+10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3y+10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{2}+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

-3 సార్లు -\frac{3y}{2}+5ని గుణించండి.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

yకు \frac{9y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$\frac{11}{2}y=33$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+5లో yను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

-\frac{3}{2} సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=-9+5$$

-9కు 5ని కూడండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-4,y=6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

2x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x+2y=36ని -6x-9y=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

6xకు -6xని కూడండి. -6x మరియు 6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9y-2y=-30-36$$

-2yకు -9yని కూడండి.

$$-11y=-30-36$$

-36కు -30ని కూడండి.

$$-11y=-66$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$y=6$$

-3x+y=18లో yను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+6=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=12$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=6$$