{r}{-v+2d=-10}{d+3v=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

v, dని పరిష్కరించండి

$$v=4$$

$$d=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న vని వేరు చేయడం ద్వారా vని పరిష్కరించండి.

$$-v+2d=-10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2dని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-v=-2d-10$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

-1 సార్లు -2d-10ని గుణించండి.

$$v=2d+10$$

మరొక సమీకరణములో vను 10+2d స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3v+d=9.

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

3 సార్లు 10+2dని గుణించండి.

$$6d+30+d=9$$

dకు 6dని కూడండి.

$$7d+30=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7d=-21$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$d=-3$$

v=2d+10లో dను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు vని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$v=2\left(-3\right)+10$$

2 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$v=-6+10$$

-6కు 10ని కూడండి.

$$v=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$v=4,d=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

v మరియు d మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$v=4,d=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

-v మరియు 3vని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3v-d=-9ని -3v+6d=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

3vకు -3vని కూడండి. -3v మరియు 3v విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6d+d=-30+9$$

dకు 6dని కూడండి.

$$7d=-30+9$$

9కు -30ని కూడండి.

$$7d=-21$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$d=-3$$

3v+d=9లో dను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు vని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3v-3=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$3v=12$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$v=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$v=4,d=-3$$