{r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

x+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2-3y=-9$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-9-2$$

-11ని పొందడం కోసం 2ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-11$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+5-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6xని పొందడం కోసం 3x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$6x+15-3y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=12-15$$

-3ని పొందడం కోసం 15ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=-11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y-11$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 3y-11ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y-11}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

6 సార్లు \frac{3y-11}{2}ని గుణించండి.

$$9y-33-3y=-3$$

-3yకు 9yని కూడండి.

$$6y-33=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 33ని కూడండి.

$$6y=30$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{15}{2}కు -\frac{11}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

x+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2-3y=-9$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-9-2$$

-11ని పొందడం కోసం 2ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-11$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+5-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6xని పొందడం కోసం 3x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$6x+15-3y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=12-15$$

-3ని పొందడం కోసం 15ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=-3$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

x+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2-3y=-9$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-9-2$$

-11ని పొందడం కోసం 2ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-11$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+5-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6xని పొందడం కోసం 3x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$6x+15-3y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=12-15$$

-3ని పొందడం కోసం 15ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=-3$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x-3y=-3ని 2x-3y=-11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

3yకు -3yని కూడండి. -3y మరియు 3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x-6x=-11+3$$

-6xకు 2xని కూడండి.

$$-4x=-11+3$$

3కు -11ని కూడండి.

$$-4x=-8$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=2$$

6x-3y=-3లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6\times 2-3y=-3$$

6 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$12-3y=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y=-15$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$