{l}{y=9x+6}{y=x+7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-9x=6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-9x=6,y-x=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-9x=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9xని కూడండి.

$$y=9x+6$$

మరొక సమీకరణములో yను 9x+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-x=7.

$$9x+6-x=7$$

-xకు 9xని కూడండి.

$$8x+6=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x=1$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}$$

y=9x+6లో xను \frac{1}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

9 సార్లు \frac{1}{8}ని గుణించండి.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

\frac{9}{8}కు 6ని కూడండి.

$$y=\frac{57}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-9x=6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=7$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-9x=6,y-x=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-9x=6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=7$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-9x=6,y-x=7$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-x=7ని y-9x=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-9x+x=6-7$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9x+x=6-7$$

xకు -9xని కూడండి.

$$-8x=6-7$$

-7కు 6ని కూడండి.

$$-8x=-1$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}$$

y-x=7లో xను \frac{1}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{8}ని కూడండి.

$$y=\frac{57}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$