{l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

y, pని పరిష్కరించండి

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7.5pని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-7.5p=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 0.6pని జోడించండి.

$$y+0.6p=300$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-7.5p=45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15p}{2}ని కూడండి.

$$y=7.5p+45$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{15p}{2}+45 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

\frac{3p}{5}కు \frac{15p}{2}ని కూడండి.

$$8.1p+45=300$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8.1p=255$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 8.1తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$p=\frac{850}{27}$$

y=7.5p+45లో pను \frac{850}{27} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 7.5 సార్లు \frac{850}{27}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

\frac{2125}{9}కు 45ని కూడండి.

$$y=\frac{2530}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7.5pని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-7.5p=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 0.6pని జోడించండి.

$$y+0.6p=300$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

y మరియు p మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7.5pని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-7.5p=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 0.6pని జోడించండి.

$$y+0.6p=300$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y+0.6p=300ని y-7.5p=45 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

-\frac{3p}{5}కు -\frac{15p}{2}ని కూడండి.

$$-8.1p=45-300$$

-300కు 45ని కూడండి.

$$-8.1p=-255$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -8.1తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$p=\frac{850}{27}$$

y+0.6p=300లో pను \frac{850}{27} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.6 సార్లు \frac{850}{27}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{170}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{2530}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$