{l}{y=0.15x+2.75}{y=0.65x+0.25} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = 0.15 x + 2.75 } \\ { y = 0.65 x + 0.25 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=5$$

$$y=3.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.15xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.15x=2.75$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.65xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.65x=0.25$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-0.15x=2.75$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3x}{20}ని కూడండి.

$$y=0.15x+2.75$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{3x}{20}+2.75 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-0.65x=0.25.

$$0.15x+2.75-0.65x=0.25$$

-\frac{13x}{20}కు \frac{3x}{20}ని కూడండి.

$$-0.5x+2.75=0.25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2.75ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.5x=-2.5$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$x=5$$

y=0.15x+2.75లో xను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=0.15\times 5+2.75$$

0.15 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$y=\frac{3+11}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా 0.75కు 2.75ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=3.5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3.5,x=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.15xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.15x=2.75$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.65xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.65x=0.25$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\1&-0.65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.65}{-0.65-\left(-0.15\right)}&-\frac{-0.15}{-0.65-\left(-0.15\right)}\\-\frac{1}{-0.65-\left(-0.15\right)}&\frac{1}{-0.65-\left(-0.15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.3&-0.3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.75\\0.25\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.3\times 2.75-0.3\times 0.25\\2\times 2.75-2\times 0.25\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.5\\5\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=3.5,x=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.15xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.15x=2.75$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.65xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-0.65x=0.25$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-0.15x=2.75,y-0.65x=0.25$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-0.65x=0.25ని y-0.15x=2.75 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-0.15x+0.65x=\frac{11-1}{4}$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-0.15x+0.65x=\frac{11-1}{4}$$

\frac{13x}{20}కు -\frac{3x}{20}ని కూడండి.

$$0.5x=\frac{11-1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -0.25కు 2.75ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.5x=2.5$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=5$$

y-0.65x=0.25లో xను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-0.65\times 5=0.25$$

-0.65 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$y-3.25=0.25$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3.25ని కూడండి.

$$y=3.5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3.5,x=5$$