{l}{y=-5-x}{2x+y=20} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 - x } \\ { 2 x + y = 20 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=25$$

$$y=-30$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$y+x=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y+x=-5,y+2x=20$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y+x=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-x-5$$

మరొక సమీకరణములో yను -x-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+2x=20.

$$-x-5+2x=20$$

2xకు -xని కూడండి.

$$x-5=20$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$x=25$$

y=-x-5లో xను 25 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-25-5$$

-25కు -5ని కూడండి.

$$y=-30$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-30,x=25$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$y+x=-5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+x=-5,y+2x=20$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-5\right)-20\\-\left(-5\right)+20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\25\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-30,x=25$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$y+x=-5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+x=-5,y+2x=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y+2x=20ని y+x=-5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y+x-2x=-5-20$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x-2x=-5-20$$

-2xకు xని కూడండి.

$$-x=-5-20$$

-20కు -5ని కూడండి.

$$-x=-25$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=25$$

y+2x=20లో xను 25 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y+2\times 25=20$$

2 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$y+50=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 50ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-30$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-30,x=25$$