{l}{y=-3x-17}{3y=3x+9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 17 } \\ { 3 y = 3 x + 9 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$y+3x=-17$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3x=9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y+3x=-17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-3x-17$$

మరొక సమీకరణములో yను -3x-17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3y-3x=9.

$$3\left(-3x-17\right)-3x=9$$

3 సార్లు -3x-17ని గుణించండి.

$$-9x-51-3x=9$$

-3xకు -9xని కూడండి.

$$-12x-51=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 51ని కూడండి.

$$-12x=60$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$x=-5$$

y=-3x-17లో xను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-3\left(-5\right)-17$$

-3 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$y=15-17$$

15కు -17ని కూడండి.

$$y=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-2,x=-5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$y+3x=-17$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3x=9$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 3}&-\frac{3}{-3-3\times 3}\\-\frac{3}{-3-3\times 3}&\frac{1}{-3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-17\right)+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-17\right)-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-2,x=-5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$y+3x=-17$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3x=9$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

y మరియు 3yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$3y+3\times 3x=3\left(-17\right),3y-3x=9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3y+9x=-51,3y-3x=9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3y-3x=9ని 3y+9x=-51 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3y+9x+3x=-51-9$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9x+3x=-51-9$$

3xకు 9xని కూడండి.

$$12x=-51-9$$

-9కు -51ని కూడండి.

$$12x=-60$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$x=-5$$

3y-3x=9లో xను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3y-3\left(-5\right)=9$$

-3 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$3y+15=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=-6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-2,x=-5$$