{l}{y=-2x+1}{y=3x-4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$y+2x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y+2x=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-2x+1$$

మరొక సమీకరణములో yను -2x+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-3x=-4.

$$-2x+1-3x=-4$$

-3xకు -2xని కూడండి.

$$-5x+1=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5x=-5$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x=1$$

y=-2x+1లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-2+1$$

-2కు 1ని కూడండి.

$$y=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-1,x=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$y+2x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-1,x=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$y+2x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-3x=-4ని y+2x=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y+2x+3x=1+4$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x+3x=1+4$$

3xకు 2xని కూడండి.

$$5x=1+4$$

4కు 1ని కూడండి.

$$5x=5$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=1$$

y-3x=-4లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-3=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$y=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-1,x=1$$