{l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=160$$

$$y=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{x}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20y-x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \frac{1}{30}తో 80+xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{30}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$20y-x=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా xని కూడండి.

$$20y=x$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{20}x$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{x}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

-\frac{x}{30}కు \frac{x}{20}ని కూడండి.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

రెండు వైపులా 60తో గుణించండి.

$$x=160$$

y=\frac{1}{20}xలో xను 160 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

\frac{1}{20} సార్లు 160ని గుణించండి.

$$y=8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=8,x=160$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{x}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20y-x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \frac{1}{30}తో 80+xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{30}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=8,x=160$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{x}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20y-x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \frac{1}{30}తో 80+xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{30}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

20y మరియు yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 20తో గుణించండి.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}ని 20y-x=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

-20yకు 20yని కూడండి. 20y మరియు -20y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

\frac{2x}{3}కు -xని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$x=160$$

y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}లో xను 160 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

-\frac{1}{30} సార్లు 160ని గుణించండి.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{3}ని కూడండి.

$$y=8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=8,x=160$$