{l}{y=-1/2x+6}{y=1/4x-5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { - 1 } { 2 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 5 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \approx 14.666666667$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-1}{2} భిన్నమును -\frac{1}{2} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

మరొక సమీకరణములో yను -\frac{x}{2}+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-\frac{1}{4}x=-5.

$$-\frac{1}{2}x+6-\frac{1}{4}x=-5$$

-\frac{x}{4}కు -\frac{x}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{3}{4}x+6=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{3}{4}x=-11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{3}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{44}{3}$$

y=-\frac{1}{2}x+6లో xను \frac{44}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}+6$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు \frac{44}{3}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-\frac{22}{3}+6$$

-\frac{22}{3}కు 6ని కూడండి.

$$y=-\frac{4}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-1}{2} భిన్నమును -\frac{1}{2} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

రెండు వైపులా \frac{1}{2}xని జోడించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{4}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{4}{3}\times 6-\frac{4}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{44}{3}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-1}{2} భిన్నమును -\frac{1}{2} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

రెండు వైపులా \frac{1}{2}xని జోడించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{4}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-\frac{1}{4}x=-5ని y+\frac{1}{2}x=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

\frac{x}{4}కు \frac{x}{2}ని కూడండి.

$$\frac{3}{4}x=6+5$$

5కు 6ని కూడండి.

$$\frac{3}{4}x=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{44}{3}$$

y-\frac{1}{4}x=-5లో xను \frac{44}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-\frac{1}{4}\times \frac{44}{3}=-5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{4} సార్లు \frac{44}{3}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y-\frac{11}{3}=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{3}ని కూడండి.

$$y=-\frac{4}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$