{l}{x_{1}+3x_{2}=18}{x_{1}+x_{2}=8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 18 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2ని పరిష్కరించండి

$$x_{1}=3$$

$$x_{2}=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న x_{1}ని వేరు చేయడం ద్వారా x_{1}ని పరిష్కరించండి.

$$x_{1}+3x_{2}=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3x_{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}=-3x_{2}+18$$

మరొక సమీకరణములో x_{1}ను -3x_{2}+18 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x_{1}+x_{2}=8.

$$-3x_{2}+18+x_{2}=8$$

x_{2}కు -3x_{2}ని కూడండి.

$$-2x_{2}+18=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x_{2}=-10$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x_{2}=5$$

x_{1}=-3x_{2}+18లో x_{2}ను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}=-3\times 5+18$$

-3 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x_{1}=-15+18$$

-15కు 18ని కూడండి.

$$x_{1}=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{3}{1-3}\\-\frac{1}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{3}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x_{1} మరియు x_{2} మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x_{1}+3x_{2}=18,x_{1}+x_{2}=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x_{1}+x_{2}=8ని x_{1}+3x_{2}=18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}-x_{1}+3x_{2}-x_{2}=18-8$$

-x_{1}కు x_{1}ని కూడండి. x_{1} మరియు -x_{1} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x_{2}-x_{2}=18-8$$

-x_{2}కు 3x_{2}ని కూడండి.

$$2x_{2}=18-8$$

-8కు 18ని కూడండి.

$$2x_{2}=10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x_{2}=5$$

x_{1}+x_{2}=8లో x_{2}ను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}+5=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=3,x_{2}=5$$