{l}{x-y=21}{x-y/20=16} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-y=21,20x-y=320$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-y=21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$x=y+21$$

మరొక సమీకరణములో xను y+21 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

20 సార్లు y+21ని గుణించండి.

$$20y+420-y=320$$

-yకు 20yని కూడండి.

$$19y+420=320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 420ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$19y=-100$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$y=-\frac{100}{19}$$

x=y+21లో yను -\frac{100}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

-\frac{100}{19}కు 21ని కూడండి.

$$x=\frac{299}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-y=21,20x-y=320$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-y=21,20x-y=320$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20x-y=320ని x-y=21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-20x-y+y=21-320$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x-20x=21-320$$

-20xకు xని కూడండి.

$$-19x=21-320$$

-320కు 21ని కూడండి.

$$-19x=-299$$

రెండు వైపులా -19తో భాగించండి.

$$x=\frac{299}{19}$$

20x-y=320లో xను \frac{299}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

20 సార్లు \frac{299}{19}ని గుణించండి.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5980}{19}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=\frac{100}{19}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=-\frac{100}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$