{l}{x^2+y^2=9}{x+y=a} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున xని వేరు చేయడం ద్వారా x కోసం x+y=aని పరిష్కరించండి.

$$x+y=a$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+a$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+a స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

-y+a వర్గము.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

y^{2}కు y^{2}ని కూడండి.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1+1\left(-1\right)^{2}, b స్థానంలో 1\left(-1\right)\times 2a మరియు c స్థానంలో -9+a^{2} ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2a వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 1+1\left(-1\right)^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -9+a^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

72-8a^{2}కు 4a^{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

72-4a^{2} వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

2 సార్లు 1+1\left(-1\right)^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{18-a^{2}}కు 2aని కూడండి.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

4తో 2a+2\sqrt{18-a^{2}}ని భాగించండి.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{18-a^{2}}ని 2a నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

4తో 2a-2\sqrt{18-a^{2}}ని భాగించండి.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} మరియు \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. సమీకరణం x=-y+aలో \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

ఇప్పుడు సమీకరణము x=-y+aలో \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$