{l}{x=y/2}{y=x-5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x = y / 2 } \\ { y = x - 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$y=-10$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{y}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-y=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$2x=y$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+y=-5.

$$-\frac{1}{2}y+y=-5$$

yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y=-5$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}yలో yను -10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -10ని గుణించండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-10$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{y}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=-5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-5,y=-10$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{y}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-x=-5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

2x మరియు -xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-2x-\left(-y\right)=0,2\left(-1\right)x+2y=2\left(-5\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x+y=0,-2x+2y=-10$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x+2y=-10ని -2x+y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x+y-2y=10$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$y-2y=10$$

-2yకు yని కూడండి.

$$-y=10$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=-10$$

-x+y=-5లో yను -10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-x-10=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10ని కూడండి.

$$-x=5$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-10$$