{l}{x+y=5}{2x+7y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} = 6.6$$

$$y = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+7y=2.

$$2\left(-y+5\right)+7y=2$$

2 సార్లు -y+5ని గుణించండి.

$$-2y+10+7y=2$$

7yకు -2yని కూడండి.

$$5y+10=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y=-8$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=-\frac{8}{5}$$

x=-y+5లో yను -\frac{8}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-\frac{8}{5}\right)+5$$

-1 సార్లు -\frac{8}{5}ని గుణించండి.

$$x=\frac{8}{5}+5$$

\frac{8}{5}కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{33}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2}&-\frac{1}{7-2}\\-\frac{2}{7-2}&\frac{1}{7-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2x+2y=2\times 5,2x+7y=2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x+2y=10,2x+7y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+7y=2ని 2x+2y=10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x+2y-7y=10-2$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-7y=10-2$$

-7yకు 2yని కూడండి.

$$-5y=10-2$$

-2కు 10ని కూడండి.

$$-5y=8$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=-\frac{8}{5}$$

2x+7y=2లో yను -\frac{8}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+7\left(-\frac{8}{5}\right)=2$$

7 సార్లు -\frac{8}{5}ని గుణించండి.

$$2x-\frac{56}{5}=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{56}{5}ని కూడండి.

$$2x=\frac{66}{5}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{33}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$