{l}{x+y=140}{0.2x+0.45y=49} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { 0.2 x + 0.45 y = 49 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=56$$

$$y=84$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=140$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+140$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+140 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.2x+0.45y=49.

$$0.2\left(-y+140\right)+0.45y=49$$

0.2 సార్లు -y+140ని గుణించండి.

$$-0.2y+28+0.45y=49$$

\frac{9y}{20}కు -\frac{y}{5}ని కూడండి.

$$0.25y+28=49$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 28ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.25y=21$$

రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$y=84$$

x=-y+140లో yను 84 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-84+140$$

-84కు 140ని కూడండి.

$$x=56$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=56,y=84$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.2&0.45\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.45}{0.45-0.2}&-\frac{1}{0.45-0.2}\\-\frac{0.2}{0.45-0.2}&\frac{1}{0.45-0.2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8&-4\\-0.8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\49\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\times 140-4\times 49\\-0.8\times 140+4\times 49\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\84\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=56,y=84$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=140,0.2x+0.45y=49$$

x మరియు \frac{x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 0.2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$0.2x+0.2y=0.2\times 140,0.2x+0.45y=49$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.2x+0.2y=28,0.2x+0.45y=49$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.2x+0.45y=49ని 0.2x+0.2y=28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.2x-0.2x+0.2y-0.45y=28-49$$

-\frac{x}{5}కు \frac{x}{5}ని కూడండి. \frac{x}{5} మరియు -\frac{x}{5} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.2y-0.45y=28-49$$

-\frac{9y}{20}కు \frac{y}{5}ని కూడండి.

$$-0.25y=28-49$$

-49కు 28ని కూడండి.

$$-0.25y=-21$$

రెండు వైపులా -4తో గుణించండి.

$$y=84$$

0.2x+0.45y=49లో yను 84 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.2x+0.45\times 84=49$$

0.45 సార్లు 84ని గుణించండి.

$$0.2x+37.8=49$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 37.8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.2x=11.2$$

రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$x=56$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=56,y=84$$