{l}{x+y=10000}{0.0180x+0.0100y=0.0150(10000} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10000 } \\ { 0.0180 x + 0.0100 y = 0.0150 ( 10000 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-12498.125$$

$$y=22498.125$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=10000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+10000$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+10000 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.018x+0.01y=0.015.

$$0.018\left(-y+10000\right)+0.01y=0.015$$

0.018 సార్లు -y+10000ని గుణించండి.

$$-0.018y+180+0.01y=0.015$$

\frac{y}{100}కు -\frac{9y}{500}ని కూడండి.

$$-0.008y+180=0.015$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 180ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.008y=-179.985$$

రెండు వైపులా -125తో గుణించండి.

$$y=22498.125$$

x=-y+10000లో yను 22498.125 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-22498.125+10000$$

-22498.125కు 10000ని కూడండి.

$$x=-12498.125$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.01}{0.01-0.018}&-\frac{1}{0.01-0.018}\\-\frac{0.018}{0.01-0.018}&\frac{1}{0.01-0.018}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25&125\\2.25&-125\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25\times 10000+125\times 0.015\\2.25\times 10000-125\times 0.015\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12498.125\\22498.125\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

x మరియు \frac{9x}{500}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 0.018తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$0.018x+0.018y=0.018\times 10000,0.018x+0.01y=0.015$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.018x+0.018y=180,0.018x+0.01y=0.015$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.018x+0.01y=0.015ని 0.018x+0.018y=180 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.018x-0.018x+0.018y-0.01y=180-0.015$$

-\frac{9x}{500}కు \frac{9x}{500}ని కూడండి. \frac{9x}{500} మరియు -\frac{9x}{500} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.018y-0.01y=180-0.015$$

-\frac{y}{100}కు \frac{9y}{500}ని కూడండి.

$$0.008y=180-0.015$$

-0.015కు 180ని కూడండి.

$$0.008y=179.985$$

రెండు వైపులా 125తో గుణించండి.

$$y=22498.125$$

0.018x+0.01y=0.015లో yను 22498.125 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.018x+0.01\times 22498.125=0.015$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.01 సార్లు 22498.125ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.018x+224.98125=0.015$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 224.98125ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.018x=-224.96625$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.018తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-12498.125$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-12498.125,y=22498.125$$