{l}{x+y=100}{60x+70y=630} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=637$$

$$y=-537$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=100$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+100$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+100 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

60 సార్లు -y+100ని గుణించండి.

$$-60y+6000+70y=630$$

70yకు -60yని కూడండి.

$$10y+6000=630$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y=-5370$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=-537$$

x=-y+100లో yను -537 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

-1 సార్లు -537ని గుణించండి.

$$x=537+100$$

537కు 100ని కూడండి.

$$x=637$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=637,y=-537$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=637,y=-537$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

x మరియు 60xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 60తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 60x+70y=630ని 60x+60y=6000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

-60xకు 60xని కూడండి. 60x మరియు -60x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$60y-70y=6000-630$$

-70yకు 60yని కూడండి.

$$-10y=6000-630$$

-630కు 6000ని కూడండి.

$$-10y=5370$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=-537$$

60x+70y=630లో yను -537 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

70 సార్లు -537ని గుణించండి.

$$60x-37590=630$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 37590ని కూడండి.

$$60x=38220$$

రెండు వైపులా 60తో భాగించండి.

$$x=637$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=637,y=-537$$