{l}{x+y=100}{0.950x+0.820y=92.5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 0.950 x + 0.820 y = 92.5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{1050}{13} = 80\frac{10}{13} \approx 80.769230769$$

$$y = \frac{250}{13} = 19\frac{3}{13} \approx 19.230769231$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=100$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+100$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+100 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.95x+0.82y=92.5.

$$0.95\left(-y+100\right)+0.82y=92.5$$

0.95 సార్లు -y+100ని గుణించండి.

$$-0.95y+95+0.82y=92.5$$

\frac{41y}{50}కు -\frac{19y}{20}ని కూడండి.

$$-0.13y+95=92.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 95ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.13y=-2.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.13తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{250}{13}$$

x=-y+100లో yను \frac{250}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{250}{13}+100$$

-\frac{250}{13}కు 100ని కూడండి.

$$x=\frac{1050}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.95&0.82\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.82}{0.82-0.95}&-\frac{1}{0.82-0.95}\\-\frac{0.95}{0.82-0.95}&\frac{1}{0.82-0.95}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}&\frac{100}{13}\\\frac{95}{13}&-\frac{100}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\92.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{82}{13}\times 100+\frac{100}{13}\times 92.5\\\frac{95}{13}\times 100-\frac{100}{13}\times 92.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1050}{13}\\\frac{250}{13}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=100,0.95x+0.82y=92.5$$

x మరియు \frac{19x}{20}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 0.95తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$0.95x+0.95y=0.95\times 100,0.95x+0.82y=92.5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.95x+0.95y=95,0.95x+0.82y=92.5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.95x+0.82y=92.5ని 0.95x+0.95y=95 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.95x-0.95x+0.95y-0.82y=95-92.5$$

-\frac{19x}{20}కు \frac{19x}{20}ని కూడండి. \frac{19x}{20} మరియు -\frac{19x}{20} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.95y-0.82y=95-92.5$$

-\frac{41y}{50}కు \frac{19y}{20}ని కూడండి.

$$0.13y=95-92.5$$

-92.5కు 95ని కూడండి.

$$0.13y=2.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.13తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{250}{13}$$

0.95x+0.82y=92.5లో yను \frac{250}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.95x+0.82\times \frac{250}{13}=92.5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.82 సార్లు \frac{250}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.95x+\frac{205}{13}=92.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{205}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.95x=\frac{1995}{26}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.95తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{1050}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1050}{13},y=\frac{250}{13}$$