{l}{x+3y=-14}{-4x-3y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = - 14 } \\ { - 4 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+3y=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-3y-14$$

మరొక సమీకరణములో xను -3y-14 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x-3y=2.

$$-4\left(-3y-14\right)-3y=2$$

-4 సార్లు -3y-14ని గుణించండి.

$$12y+56-3y=2$$

-3yకు 12yని కూడండి.

$$9y+56=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 56ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9y=-54$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$y=-6$$

x=-3y-14లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3\left(-6\right)-14$$

-3 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=18-14$$

18కు -14ని కూడండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{-3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-3-3\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{4}{9}\left(-14\right)+\frac{1}{9}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=-6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+3y=-14,-4x-3y=2$$

x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-4x-4\times 3y=-4\left(-14\right),-4x-3y=2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-12y=56,-4x-3y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x-3y=2ని -4x-12y=56 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-12y+3y=56-2$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y+3y=56-2$$

3yకు -12yని కూడండి.

$$-9y=56-2$$

-2కు 56ని కూడండి.

$$-9y=54$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=-6$$

-4x-3y=2లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x-3\left(-6\right)=2$$

-3 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$-4x+18=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x=-16$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-6$$