{l}{x+2y=1}{y=4x-5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+2y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-2y+1$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

-4 సార్లు -2y+1ని గుణించండి.

$$8y-4+y=-5$$

yకు 8yని కూడండి.

$$9y-4=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$9y=-1$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{9}$$

x=-2y+1లో yను -\frac{1}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

-2 సార్లు -\frac{1}{9}ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

\frac{2}{9}కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{11}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=-5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=-5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x+y=-5ని -4x-8y=-4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-8y-y=-4+5$$

-yకు -8yని కూడండి.

$$-9y=-4+5$$

5కు -4ని కూడండి.

$$-9y=1$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{9}$$

-4x+y=-5లో yను -\frac{1}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{9}ని కూడండి.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=\frac{11}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$