{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా nyని కూడండి.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

రెండు వైపులా mతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} సార్లు ny+m^{2}+n^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

yకు \frac{ny}{m}ని కూడండి.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి m+\frac{n^{2}}{m}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

రెండు వైపులా \frac{m+n}{m}తో భాగించండి.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+mలో yను m-n స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} సార్లు m-nని గుణించండి.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m}కు m+\frac{n^{2}}{m}ని కూడండి.

$$x=m+n$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=m+n,y=m-n$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=m+n,y=m-n$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను mతో గుణించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా mx+my=2m^{2}ని mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mxకు mxని కూడండి. mx మరియు -mx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-myకు -nyని కూడండి.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2}కు m^{2}+n^{2}ని కూడండి.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

రెండు వైపులా -m-nతో భాగించండి.

$$y=m-n$$

x+y=2mలో yను m-n స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+m-n=2m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి m-nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=m+n$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా nyని కూడండి.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

రెండు వైపులా mతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} సార్లు ny+m^{2}+n^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

yకు \frac{ny}{m}ని కూడండి.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి m+\frac{n^{2}}{m}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

రెండు వైపులా \frac{m+n}{m}తో భాగించండి.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+mలో yను m-n స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} సార్లు m-nని గుణించండి.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m}కు m+\frac{n^{2}}{m}ని కూడండి.

$$x=m+n$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=m+n,y=m-n$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=m+n,y=m-n$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను mతో గుణించండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా mx+my=2m^{2}ని mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mxకు mxని కూడండి. mx మరియు -mx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-myకు -nyని కూడండి.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2}కు m^{2}+n^{2}ని కూడండి.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

రెండు వైపులా -m-nతో భాగించండి.

$$y=m-n$$

x+y=2mలో yను m-n స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+m-n=2m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి m-nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=m+n$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=m+n,y=m-n$$