{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$fx-y=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$fx=y+7$$

రెండు వైపులా fతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} సార్లు y+7ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7+y}{f} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 సార్లు \frac{7+y}{f}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fyకు -\frac{9y}{f}ని కూడండి.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{63}{f}ని కూడండి.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

రెండు వైపులా f-\frac{9}{f}తో భాగించండి.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}లో yను \frac{63+8f}{f^{2}-9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} సార్లు \frac{63+8f}{f^{2}-9}ని గుణించండి.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}కు \frac{7}{f}ని కూడండి.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx మరియు -9xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను fతో గుణించండి.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-9f\right)x+f^{2}y=8fని \left(-9f\right)x+9y=-63 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fxకు -9fxని కూడండి. -9fx మరియు 9fx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}yకు 9yని కూడండి.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8fకు -63ని కూడండి.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

రెండు వైపులా -f^{2}+9తో భాగించండి.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8లో yను -\frac{63+8f}{9-f^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f సార్లు -\frac{63+8f}{9-f^{2}}ని గుణించండి.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}}ని కూడండి.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$fx-y=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$fx=y+7$$

రెండు వైపులా fతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} సార్లు y+7ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7+y}{f} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 సార్లు \frac{7+y}{f}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

fyకు -\frac{9y}{f}ని కూడండి.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{63}{f}ని కూడండి.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

రెండు వైపులా f-\frac{9}{f}తో భాగించండి.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}లో yను \frac{63+8f}{f^{2}-9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} సార్లు \frac{63+8f}{f^{2}-9}ని గుణించండి.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}కు \frac{7}{f}ని కూడండి.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fx-y=7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$fy-9x=8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx మరియు -9xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను fతో గుణించండి.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-9f\right)x+f^{2}y=8fని \left(-9f\right)x+9y=-63 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9fxకు -9fxని కూడండి. -9fx మరియు 9fx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-f^{2}yకు 9yని కూడండి.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-8fకు -63ని కూడండి.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

రెండు వైపులా -f^{2}+9తో భాగించండి.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8లో yను -\frac{63+8f}{9-f^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f సార్లు -\frac{63+8f}{9-f^{2}}ని గుణించండి.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}}ని కూడండి.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$