{l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$12bx-15y=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15yని కూడండి.

$$12bx=15y-4$$

రెండు వైపులా 12bతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} సార్లు 15y-4ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-4+15y}{12b} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 సార్లు \frac{-4+15y}{12b}ని గుణించండి.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

10yకు \frac{20y}{b}ని కూడండి.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{3b}ని కూడండి.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

రెండు వైపులా \frac{20}{b}+10తో భాగించండి.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}లో yను \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} సార్లు \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}ని గుణించండి.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}కు -\frac{1}{3b}ని కూడండి.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx మరియు 16xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 16తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 12bతో గుణించండి.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 192bx+120by=84bని 192bx-240y=-64 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-192bxకు 192bxని కూడండి. 192bx మరియు -192bx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-120byకు -240yని కూడండి.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-84bకు -64ని కూడండి.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

రెండు వైపులా -240-120bతో భాగించండి.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

16x+10y=7లో yను \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 సార్లు \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}ని గుణించండి.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$