{l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$ax+by=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి byని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

రెండు వైపులా aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} సార్లు -by+cని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-by+c}{a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} సార్లు \frac{-by+c}{a}ని గుణించండి.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

b^{2}yకు -bayని కూడండి.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి caని వ్యవకలనం చేయండి.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

రెండు వైపులా b\left(b-a\right)తో భాగించండి.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}లో yను \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} సార్లు \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}కు \frac{c}{a}ని కూడండి.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax మరియు a^{2}xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను a^{2}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను aతో గుణించండి.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా a^{3}x+ab^{2}y=acని a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-a^{3}xకు a^{3}xని కూడండి. a^{3}x మరియు -a^{3}x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-ab^{2}yకు a^{2}byని కూడండి.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

-acకు a^{2}cని కూడండి.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

రెండు వైపులా ab\left(a-b\right)తో భాగించండి.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=cలో yను \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} సార్లు \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}ని గుణించండి.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

రెండు వైపులా a^{2}తో భాగించండి.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$ax+by=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి byని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

రెండు వైపులా aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} సార్లు -by+cని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-by+c}{a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} సార్లు \frac{-by+c}{a}ని గుణించండి.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

b^{2}yకు -bayని కూడండి.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి caని వ్యవకలనం చేయండి.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

రెండు వైపులా b\left(-a+b\right)తో భాగించండి.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}లో yను \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} సార్లు \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}కు \frac{c}{a}ని కూడండి.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax మరియు a^{2}xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను a^{2}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను aతో గుణించండి.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా a^{3}x+ab^{2}y=acని a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-a^{3}xకు a^{3}xని కూడండి. a^{3}x మరియు -a^{3}x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

-ab^{2}yకు a^{2}byని కూడండి.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

-acకు a^{2}cని కూడండి.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

రెండు వైపులా ab\left(a-b\right)తో భాగించండి.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=cలో yను \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} సార్లు \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}ని గుణించండి.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

రెండు వైపులా a^{2}తో భాగించండి.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$