{l}{Cx+y=69}{2x+y=87} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$Cx+y=69$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$Cx=-y+69$$

రెండు వైపులా Cతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{C} సార్లు -y+69ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{69-y}{C} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

2 సార్లు \frac{69-y}{C}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

yకు -\frac{2y}{C}ని కూడండి.

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{138}{C}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

రెండు వైపులా \frac{-2+C}{C}తో భాగించండి.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}లో yను \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

-\frac{1}{C} సార్లు \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

-\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)}కు \frac{69}{C}ని కూడండి.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+y=87ని Cx+y=69 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$Cx-2x=69-87$$

-2xకు Cxని కూడండి.

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

-87కు 69ని కూడండి.

$$\left(C-2\right)x=-18$$

రెండు వైపులా C-2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

2x+y=87లో xను -\frac{18}{C-2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

2 సార్లు -\frac{18}{C-2}ని గుణించండి.

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{36}{C-2}ని కూడండి.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$