{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$Ax+By=C$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి Byని వ్యవకలనం చేయండి.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

రెండు వైపులా Aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

\frac{1}{A} సార్లు -By+Cని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-By+C}{A} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

D సార్లు \frac{-By+C}{A}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

Cyకు -\frac{DBy}{A}ని కూడండి.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{DC}{A}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

రెండు వైపులా C-\frac{DB}{A}తో భాగించండి.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}లో yను \frac{FA-DC}{CA-DB} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B}{A} సార్లు \frac{FA-DC}{CA-DB}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}కు \frac{C}{A}ని కూడండి.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax మరియు Dxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను Dతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను Aతో గుణించండి.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా ADx+ACy=AFని ADx+BDy=CD నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-DAxకు DAxని కూడండి. DAx మరియు -DAx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

-ACyకు DByని కూడండి.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

రెండు వైపులా DB-ACతో భాగించండి.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=Fలో yను \frac{DC-AF}{DB-AC} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

C సార్లు \frac{DC-AF}{DB-AC}ని గుణించండి.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

రెండు వైపులా Dతో భాగించండి.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$