{l}{9x-4y=7}{x-4y=-17} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$9x-4y=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$9x=4y+7$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు 4y+7ని గుణించండి.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{4y+7}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-4y=-17.

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

-4yకు \frac{4y}{9}ని కూడండి.

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{32}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=5$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

\frac{4}{9} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{20+7}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{20}{9}కు \frac{7}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x-4y=-17ని 9x-4y=7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

4yకు -4yని కూడండి. -4y మరియు 4y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9x-x=7+17$$

-xకు 9xని కూడండి.

$$8x=7+17$$

17కు 7ని కూడండి.

$$8x=24$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=3$$

x-4y=-17లో xను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3-4y=-17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4y=-20$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=5$$