{l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$9x+my+3=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x+my=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి myని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు -my-3ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m సార్లు -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

4yకు -\frac{m^{2}y}{9}ని కూడండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -\frac{m}{3}+2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

రెండు వైపులా -\frac{m^{2}}{9}+4తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}లో yను -\frac{3}{6+m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9} సార్లు -\frac{3}{6+m}ని గుణించండి.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

\frac{m}{3\left(6+m\right)}కు -\frac{1}{3}ని కూడండి.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x మరియు mxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను mతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9mx+36y+18=0ని 9mx+m^{2}y+3m=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-9mxకు 9mxని కూడండి. 9mx మరియు -9mx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-36yకు m^{2}yని కూడండి.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -18+3mని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

రెండు వైపులా m^{2}-36తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0లో yను -\frac{3}{6+m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4 సార్లు -\frac{3}{6+m}ని గుణించండి.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

2కు -\frac{12}{6+m}ని కూడండి.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2m}{6+m}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

రెండు వైపులా mతో భాగించండి.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$9x+my+3=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x+my=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి myని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు -my-3ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m సార్లు -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}ని గుణించండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

4yకు -\frac{m^{2}y}{9}ని కూడండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -\frac{m}{3}+2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

రెండు వైపులా -\frac{m^{2}}{9}+4తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}లో yను -\frac{3}{6+m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9} సార్లు -\frac{3}{6+m}ని గుణించండి.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

\frac{m}{3\left(6+m\right)}కు -\frac{1}{3}ని కూడండి.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x మరియు mxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను mతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9mx+36y+18=0ని 9mx+m^{2}y+3m=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-9mxకు 9mxని కూడండి. 9mx మరియు -9mx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

-36yకు m^{2}yని కూడండి.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -18+3mని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

రెండు వైపులా m^{2}-36తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0లో yను -\frac{3}{6+m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4 సార్లు -\frac{3}{6+m}ని గుణించండి.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

2కు -\frac{12}{6+m}ని కూడండి.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2m}{6+m}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

రెండు వైపులా mతో భాగించండి.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$