{l}{9x+5y=-2}{3x-3y=21} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 5 y = - 2 } \\ { 3 x - 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{33}{14} = 2\frac{5}{14} \approx 2.357142857$$

$$y = -\frac{65}{14} = -4\frac{9}{14} \approx -4.642857143$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$9x+5y=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x=-5y-2$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{9}\left(-5y-2\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు -5y-2ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y-2}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-3y=21.

$$3\left(-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}\right)-3y=21$$

3 సార్లు \frac{-5y-2}{9}ని గుణించండి.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}-3y=21$$

-3yకు -\frac{5y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{2}{3}=21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{65}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{14}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{65}{14}$$

x=-\frac{5}{9}y-\frac{2}{9}లో yను -\frac{65}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{9}\left(-\frac{65}{14}\right)-\frac{2}{9}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{9} సార్లు -\frac{65}{14}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{325}{126}-\frac{2}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{325}{126}కు -\frac{2}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{33}{14}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{9\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{9\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{9}{9\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{42}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\21\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{5}{42}\times 21\\\frac{1}{14}\left(-2\right)-\frac{3}{14}\times 21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{14}\\-\frac{65}{14}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9x+5y=-2,3x-3y=21$$

9x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$3\times 9x+3\times 5y=3\left(-2\right),9\times 3x+9\left(-3\right)y=9\times 21$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$27x+15y=-6,27x-27y=189$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 27x-27y=189ని 27x+15y=-6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$27x-27x+15y+27y=-6-189$$

-27xకు 27xని కూడండి. 27x మరియు -27x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$15y+27y=-6-189$$

27yకు 15yని కూడండి.

$$42y=-6-189$$

-189కు -6ని కూడండి.

$$42y=-195$$

రెండు వైపులా 42తో భాగించండి.

$$y=-\frac{65}{14}$$

3x-3y=21లో yను -\frac{65}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-3\left(-\frac{65}{14}\right)=21$$

-3 సార్లు -\frac{65}{14}ని గుణించండి.

$$3x+\frac{195}{14}=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{195}{14}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=\frac{99}{14}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{33}{14}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33}{14},y=-\frac{65}{14}$$