{l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$80x+160y=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 160yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$80x=-160y+4$$

రెండు వైపులా 80తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} సార్లు -160y+4ని గుణించండి.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+\frac{1}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

3yకు -2yని కూడండి.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{1}{20}$$

x=-2y+\frac{1}{20}లో yను \frac{1}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

-2 సార్లు \frac{1}{20}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1}{10}కు \frac{1}{20}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{20}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 80తో గుణించండి.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 80x+240y=8ని 80x+160y=4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

-80xకు 80xని కూడండి. 80x మరియు -80x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$160y-240y=4-8$$

-240yకు 160yని కూడండి.

$$-80y=4-8$$

-8కు 4ని కూడండి.

$$-80y=-4$$

రెండు వైపులా -80తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{20}$$

x+3y=0.1లో yను \frac{1}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

3 సార్లు \frac{1}{20}ని గుణించండి.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1}{20}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$