{l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$80x+160y=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 160yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$80x=-160y+4$$

రెండు వైపులా 80తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} సార్లు -160y+4ని గుణించండి.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+\frac{1}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

5600 సార్లు -2y+\frac{1}{20}ని గుణించండి.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

5600yకు -11200yని కూడండి.

$$-5600y+280=5536$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 280ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5600y=5256$$

రెండు వైపులా -5600తో భాగించండి.

$$y=-\frac{657}{700}$$

x=-2y+\frac{1}{20}లో yను -\frac{657}{700} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-2 సార్లు -\frac{657}{700}ని గుణించండి.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{657}{350}కు \frac{1}{20}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1349}{700}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x మరియు 5600xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5600తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 80తో గుణించండి.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 448000x+448000y=442880ని 448000x+896000y=22400 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

-448000xకు 448000xని కూడండి. 448000x మరియు -448000x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

-448000yకు 896000yని కూడండి.

$$448000y=22400-442880$$

-442880కు 22400ని కూడండి.

$$448000y=-420480$$

రెండు వైపులా 448000తో భాగించండి.

$$y=-\frac{657}{700}$$

5600x+5600y=5536లో yను -\frac{657}{700} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

5600 సార్లు -\frac{657}{700}ని గుణించండి.

$$5600x-5256=5536$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5256ని కూడండి.

$$5600x=10792$$

రెండు వైపులా 5600తో భాగించండి.

$$x=\frac{1349}{700}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$