{l}{8x-3y=1}{-8x+5y=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 1 } \\ { - 8 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x-3y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$8x=3y+1$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు 3y+1ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y+1}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -8x+5y=9.

$$-8\left(\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}\right)+5y=9$$

-8 సార్లు \frac{3y+1}{8}ని గుణించండి.

$$-3y-1+5y=9$$

5yకు -3yని కూడండి.

$$2y-1=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$2y=10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{8}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{8}$$

\frac{3}{8} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{15+1}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{15}{8}కు \frac{1}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{8}{8\times 5-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}+\frac{3}{16}\times 9\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x-3y=1,-8x+5y=9$$

8x మరియు -8xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8,8\left(-8\right)x+8\times 5y=8\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-64x+24y=-8,-64x+40y=72$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -64x+40y=72ని -64x+24y=-8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-64x+64x+24y-40y=-8-72$$

64xకు -64xని కూడండి. -64x మరియు 64x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$24y-40y=-8-72$$

-40yకు 24yని కూడండి.

$$-16y=-8-72$$

-72కు -8ని కూడండి.

$$-16y=-80$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$y=5$$

-8x+5y=9లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-8x+5\times 5=9$$

5 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$-8x+25=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8x=-16$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$