{l}{8x+y=64}{x+y=42} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x+y=64,x+y=42$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x+y=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x=-y+64$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు -y+64ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{8}+8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

yకు -\frac{y}{8}ని కూడండి.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{8}y=34$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{8}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{272}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+8లో yను \frac{272}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{8} సార్లు \frac{272}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

-\frac{34}{7}కు 8ని కూడండి.

$$x=\frac{22}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x+y=64,x+y=42$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x+y=64,x+y=42$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x+y=42ని 8x+y=64 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-x+y-y=64-42$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8x-x=64-42$$

-xకు 8xని కూడండి.

$$7x=64-42$$

-42కు 64ని కూడండి.

$$7x=22$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{22}{7}$$

x+y=42లో xను \frac{22}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{22}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{272}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$