{l}{8a-b=9}{4a+9b=7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$8a-b=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా bని కూడండి.

$$8a=b+9$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు b+9ని గుణించండి.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

మరొక సమీకరణములో aను \frac{9+b}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

4 సార్లు \frac{9+b}{8}ని గుణించండి.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

9bకు \frac{b}{2}ని కూడండి.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=\frac{5}{19}$$

a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}లో bను \frac{5}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{8} సార్లు \frac{5}{19}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{5}{152}కు \frac{9}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a మరియు 4aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 32a+72b=56ని 32a-4b=36 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

-32aకు 32aని కూడండి. 32a మరియు -32a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-4b-72b=36-56$$

-72bకు -4bని కూడండి.

$$-76b=36-56$$

-56కు 36ని కూడండి.

$$-76b=-20$$

రెండు వైపులా -76తో భాగించండి.

$$b=\frac{5}{19}$$

4a+9b=7లో bను \frac{5}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

9 సార్లు \frac{5}{19}ని గుణించండి.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{45}{19}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4a=\frac{88}{19}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$a=\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$