{l}{73x-7y=66}{18x+98y=25} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$73x-7y=66$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7yని కూడండి.

$$73x=7y+66$$

రెండు వైపులా 73తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

\frac{1}{73} సార్లు 7y+66ని గుణించండి.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7y+66}{73} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

18 సార్లు \frac{7y+66}{73}ని గుణించండి.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

98yకు \frac{126y}{73}ని కూడండి.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1188}{73}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7280}{73}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{7}{80}$$

x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}లో yను \frac{7}{80} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{7}{73} సార్లు \frac{7}{80}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{5840}కు \frac{66}{73}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{73}{80}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

73x మరియు 18xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 18తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 73తో గుణించండి.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 1314x+7154y=1825ని 1314x-126y=1188 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

-1314xకు 1314xని కూడండి. 1314x మరియు -1314x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

-7154yకు -126yని కూడండి.

$$-7280y=1188-1825$$

-1825కు 1188ని కూడండి.

$$-7280y=-637$$

రెండు వైపులా -7280తో భాగించండి.

$$y=\frac{7}{80}$$

18x+98y=25లో yను \frac{7}{80} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

98 సార్లు \frac{7}{80}ని గుణించండి.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{343}{40}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$18x=\frac{657}{40}$$

రెండు వైపులా 18తో భాగించండి.

$$x=\frac{73}{80}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$