{l}{7x-y=5}{1/7x+y=38/7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 7 } x + y = \frac { 38 } { 7 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{73}{50} = 1\frac{23}{50} = 1.46$$

$$y = \frac{261}{50} = 5\frac{11}{50} = 5.22$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$7x-y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$7x=y+5$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు y+5ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5+y}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}.

$$\frac{1}{7}\left(\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}\right)+y=\frac{38}{7}$$

\frac{1}{7} సార్లు \frac{5+y}{7}ని గుణించండి.

$$\frac{1}{49}y+\frac{5}{49}+y=\frac{38}{7}$$

yకు \frac{y}{49}ని కూడండి.

$$\frac{50}{49}y+\frac{5}{49}=\frac{38}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{49}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{50}{49}y=\frac{261}{49}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{50}{49}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{261}{50}$$

x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}లో yను \frac{261}{50} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{7}\times \frac{261}{50}+\frac{5}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{7} సార్లు \frac{261}{50}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{261}{350}+\frac{5}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{261}{350}కు \frac{5}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{73}{50}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\\-\frac{\frac{1}{7}}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&\frac{7}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{7}{50}\\-\frac{1}{50}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 5+\frac{7}{50}\times \frac{38}{7}\\-\frac{1}{50}\times 5+\frac{49}{50}\times \frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{50}\\\frac{261}{50}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

7x మరియు \frac{x}{7}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{7}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$\frac{1}{7}\times 7x+\frac{1}{7}\left(-1\right)y=\frac{1}{7}\times 5,7\times \frac{1}{7}x+7y=7\times \frac{38}{7}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7},x+7y=38$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x+7y=38ని x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-x-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

-xకు xని కూడండి. x మరియు -x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

-7yకు -\frac{y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{5}{7}-38$$

-38కు \frac{5}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{50}{7}y=-\frac{261}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{50}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{261}{50}$$

\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}లో yను \frac{261}{50} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{7}x+\frac{261}{50}=\frac{38}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{261}{50}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{7}x=\frac{73}{350}$$

రెండు వైపులా 7తో గుణించండి.

$$x=\frac{73}{50}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$