{l}{7x+8y=15}{9x+8y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-7$$

$$y=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$7x+8y=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x=-8y+15$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు -8y+15ని గుణించండి.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-8y+15}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

9 సార్లు \frac{-8y+15}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

8yకు -\frac{72y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{135}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{16}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}లో yను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

-\frac{8}{7} సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{64}{7}కు \frac{15}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-7,y=8$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-7,y=8$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9x+8y=1ని 7x+8y=15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

-8yకు 8yని కూడండి. 8y మరియు -8y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$7x-9x=15-1$$

-9xకు 7xని కూడండి.

$$-2x=15-1$$

-1కు 15ని కూడండి.

$$-2x=14$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-7$$

9x+8y=1లో xను -7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

9 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$-63+8y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 63ని కూడండి.

$$8y=64$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-7,y=8$$