{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, zని పరిష్కరించండి

$$z=1$$

$$w=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5w-2z=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న wని వేరు చేయడం ద్వారా wని పరిష్కరించండి.

$$7w+2z=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7w=-2z+16$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు -2z+16ని గుణించండి.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

మరొక సమీకరణములో wను \frac{-2z+16}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

5 సార్లు \frac{-2z+16}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-2zకు -\frac{10z}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{80}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{24}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}లో zను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు wని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{2}{7}కు \frac{16}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$w=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$w=2,z=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5w-2z=8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

w మరియు z మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$w=2,z=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5w-2z=8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w మరియు 5wని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 35w-14z=56ని 35w+10z=80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

-35wకు 35wని కూడండి. 35w మరియు -35w విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10z+14z=80-56$$

14zకు 10zని కూడండి.

$$24z=80-56$$

-56కు 80ని కూడండి.

$$24z=24$$

రెండు వైపులా 24తో భాగించండి.

$$z=1$$

5w-2z=8లో zను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు wని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5w-2=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$5w=10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$w=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$w=2,z=1$$