{l}{62x+y=44}{34x-y=36} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$62x+y=44$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$62x=-y+44$$

రెండు వైపులా 62తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

\frac{1}{62} సార్లు -y+44ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

34 సార్లు -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}ని గుణించండి.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

-yకు -\frac{17y}{31}ని కూడండి.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{748}{31}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{48}{31}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{23}{3}$$

x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}లో yను -\frac{23}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{62} సార్లు -\frac{23}{3}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{23}{186}కు \frac{22}{31}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x మరియు 34xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 34తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 62తో గుణించండి.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2108x-62y=2232ని 2108x+34y=1496 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

-2108xకు 2108xని కూడండి. 2108x మరియు -2108x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$34y+62y=1496-2232$$

62yకు 34yని కూడండి.

$$96y=1496-2232$$

-2232కు 1496ని కూడండి.

$$96y=-736$$

రెండు వైపులా 96తో భాగించండి.

$$y=-\frac{23}{3}$$

34x-y=36లో yను -\frac{23}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{23}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$34x=\frac{85}{3}$$

రెండు వైపులా 34తో భాగించండి.

$$x=\frac{5}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$