{l}{6x+64y=m}{x+2/3y=0.05} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 64 y = m } \\ { x + \frac { 2 } { 3 } y = 0.05 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

$$y=\frac{m}{60}-0.005$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+64y=m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 64yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-64y+m$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-64y+m\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -64y+mని గుణించండి.

$$x=-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{32y}{3}+\frac{m}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+\frac{2}{3}y=0.05.

$$-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}+\frac{2}{3}y=0.05$$

\frac{2y}{3}కు -\frac{32y}{3}ని కూడండి.

$$-10y+\frac{m}{6}=0.05$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{m}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10y=-\frac{m}{6}+\frac{1}{20}$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

x=-\frac{32}{3}y+\frac{m}{6}లో yను -\frac{1}{200}+\frac{m}{60} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{32}{3}\left(\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\right)+\frac{m}{6}$$

-\frac{32}{3} సార్లు -\frac{1}{200}+\frac{m}{60}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{8m}{45}+\frac{4}{75}+\frac{m}{6}$$

\frac{4}{75}-\frac{8m}{45}కు \frac{m}{6}ని కూడండి.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&64\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{6\times \frac{2}{3}-64}&-\frac{64}{6\times \frac{2}{3}-64}\\-\frac{1}{6\times \frac{2}{3}-64}&\frac{6}{6\times \frac{2}{3}-64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{90}&\frac{16}{15}\\\frac{1}{60}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\0.05\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{90}m+\frac{16}{15}\times 0.05\\\frac{1}{60}m-\frac{1}{10}\times 0.05\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}\\\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+64y=m,x+\frac{2}{3}y=0.05$$

6x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$6x+64y=m,6x+6\times \frac{2}{3}y=6\times 0.05$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+64y=m,6x+4y=0.3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+4y=0.3ని 6x+64y=m నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+64y-4y=m-0.3$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$64y-4y=m-0.3$$

-4yకు 64yని కూడండి.

$$60y=m-0.3$$

రెండు వైపులా 60తో భాగించండి.

$$y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$

x+\frac{2}{3}y=0.05లో yను \frac{m}{60}-\frac{1}{200} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{2}{3}\left(\frac{m}{60}-\frac{1}{200}\right)=0.05$$

\frac{2}{3} సార్లు \frac{m}{60}-\frac{1}{200}ని గుణించండి.

$$x+\frac{m}{90}-\frac{1}{300}=0.05$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -\frac{1}{300}+\frac{m}{90}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{m}{90}+\frac{4}{75},y=\frac{m}{60}-\frac{1}{200}$$