{l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=600$$

$$y=400$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+5y=5600$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-5y+5600$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -5y+5600ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

55 సార్లు -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

46yకు -\frac{275y}{6}ని కూడండి.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{154000}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$y=400$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}లో yను 400 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5}{6} సార్లు 400ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1000}{3}కు \frac{2800}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=600$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=600,y=400$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=600,y=400$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x మరియు 55xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 55తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 330x+276y=308400ని 330x+275y=308000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

-330xకు 330xని కూడండి. 330x మరియు -330x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$275y-276y=308000-308400$$

-276yకు 275yని కూడండి.

$$-y=308000-308400$$

-308400కు 308000ని కూడండి.

$$-y=-400$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=400$$

55x+46y=51400లో yను 400 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$55x+46\times 400=51400$$

46 సార్లు 400ని గుణించండి.

$$55x+18400=51400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18400ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$55x=33000$$

రెండు వైపులా 55తో భాగించండి.

$$x=600$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=600,y=400$$