{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$6m-5n=-9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5nని కూడండి.

$$6m=5n-9$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు 5n-9ని గుణించండి.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

మరొక సమీకరణములో mను \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4 సార్లు \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

3nకు \frac{10n}{3}ని కూడండి.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$\frac{19}{3}n=71$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}లో nను \frac{213}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{6} సార్లు \frac{213}{19}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{355}{38}కు -\frac{3}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=\frac{149}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m మరియు 4mని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24m+18n=390ని 24m-20n=-36 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

-24mకు 24mని కూడండి. 24m మరియు -24m విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-20n-18n=-36-390$$

-18nకు -20nని కూడండి.

$$-38n=-36-390$$

-390కు -36ని కూడండి.

$$-38n=-426$$

రెండు వైపులా -38తో భాగించండి.

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65లో nను \frac{213}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3 సార్లు \frac{213}{19}ని గుణించండి.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{639}{19}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4m=\frac{596}{19}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$m=\frac{149}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$