{l}{5x-y=8}{10x+3y=6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-y=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$5x=y+8$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు y+8ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{8+y}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

10 సార్లు \frac{8+y}{5}ని గుణించండి.

$$2y+16+3y=6$$

3yకు 2yని కూడండి.

$$5y+16=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y=-10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{1}{5} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{2}{5}కు \frac{8}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{6}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

5x మరియు 10xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 50x+15y=30ని 50x-10y=80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

-50xకు 50xని కూడండి. 50x మరియు -50x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-10y-15y=80-30$$

-15yకు -10yని కూడండి.

$$-25y=80-30$$

-30కు 80ని కూడండి.

$$-25y=50$$

రెండు వైపులా -25తో భాగించండి.

$$y=-2$$

10x+3y=6లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

3 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$10x-6=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$10x=12$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=\frac{6}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$