{l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-3y-4=34$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$5x-3y=38$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$5x=3y+38$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు 3y+38ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y+38}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

-3 సార్లు \frac{3y+38}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

5yకు -\frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-18కు -\frac{114}{5}ని కూడండి.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{204}{5}ని కూడండి.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}లో yను \frac{187}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{5} సార్లు \frac{187}{8}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{561}{40}కు \frac{38}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{173}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -15x+25y-90=170ని -15x+9y+12=-102 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

15xకు -15xని కూడండి. -15x మరియు 15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

-25yకు 9yని కూడండి.

$$-16y+12+90=-102-170$$

90కు 12ని కూడండి.

$$-16y+102=-102-170$$

-170కు -102ని కూడండి.

$$-16y+102=-272$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 102ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16y=-374$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34లో yను \frac{187}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

5 సార్లు \frac{187}{8}ని గుణించండి.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

-18కు \frac{935}{8}ని కూడండి.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{791}{8}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=\frac{173}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$