{l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-3y-2=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$5x-3y=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$5x=3y+2$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు 3y+2ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y+2}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

4 సార్లు \frac{3y+2}{5}ని గుణించండి.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

7yకు \frac{12y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

3కు \frac{8}{5}ని కూడండి.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{23}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{47}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}లో yను -\frac{23}{47} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{5} సార్లు -\frac{23}{47}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{69}{235}కు \frac{2}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{47}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

5x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20x+35y+15=0ని 20x-12y-8=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

-20xకు 20xని కూడండి. 20x మరియు -20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y-35y-8-15=0$$

-35yకు -12yని కూడండి.

$$-47y-8-15=0$$

-15కు -8ని కూడండి.

$$-47y-23=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 23ని కూడండి.

$$-47y=23$$

రెండు వైపులా -47తో భాగించండి.

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y+3=0లో yను -\frac{23}{47} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

7 సార్లు -\frac{23}{47}ని గుణించండి.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

3కు -\frac{161}{47}ని కూడండి.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{20}{47}ని కూడండి.

$$4x=\frac{20}{47}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{5}{47}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$